Teka-Teki Matematika

Teka-Teki Kodok

Seorang teman menunjukkan sebuah link ke sebuah situs ebook gratis, Gutenberg. Salah satu ebooknya tentang matematika adalah “Amusements in Mathematics” oleh Henry Ernes Dudeney. Ebook sebanyak 253 halaman ini berisi beragam teka-teki populer yang sangat menarik dan tentunya juga menantang.

Salah satu teka-tekinya adalah teka-teki tentang lompatan kodok  berikut ini:

Enam ekor kodok terpelajar baru saja mempelajari sebuah perbuatan yang sepertinya sulit dilakukan dengan sangat cantiknya. Ketika kodok-kodok itu ditempatkan di atas sebuah gelas- seperti ditunjukkan pada gambar- mereka mengubah posisi mereka sehingga tiga kodok hitam berada di sisi sebelah kiri, dan tiga kodok hitam berada di sebelah kanannya, dan menyisakan sebuah gelas kosong di sisi paling kanan (gelas nomor 7).

Masing-masing kodok itu bisa melompat ke gelas berikutnya (jika kosong) atau melompati sebuah kodok, atau dua kodok sekaligus ke gelas yang kosong. Lompatan dapat dilakukan kedua arah (kiri atau kanan) dan bisa melompati katak yang sama atau berbeda warna. Sebagai ilustrasi, lompatan bisa dilakukan mialnya dari 4 ke 1, 5 ke 4, 3 ke 5, 6 ke 3.

Bisakah Anda menunjukkan bagaimana keenam kodok itu bisa melakukannya dalam sepuluh langkah?”

Untuk menjawab teka-teki itu, Anda bisa melakukannya dengan mencoba-coba. Cobalah untuk menyelesaikan misi itu dalam sepuluh lompatan. Jangan terburu-buru melihat solusi yang juga disediakan di sana.

Teka-teki yang serupa bisa Anda temukan juga di Hoodamath, Permainan games logika ini bisa Anda nikmati dengan cara menyenangkan. Dengan perintah serupa, Anda diminta untuk memindahkan sekelompok kodok ke posisi berbeda.

Posisi kodok semula

Dengan cara klik pada kodok agar melompat, Anda harus memindahkan ketiga kodok hijau ke sisi kanan, dan ketiga kodok coklat ke sisi kiri, dan membiarkan batu yang ditengah tetap kosong. Anda tidak akan bisa membuat kondok itu melompat, jika tepat di depannya ada dua kodok sekaligus. Jadi, kodok hanya bisa melompat ke batu kosong yang berada tepat di depannya, atau melompati hanya sebuah kodok yang sama atau berbeda warna.

Jangan berputus asa ketika mencoba memindahkan kodok-kodok itu. Saya pun baru berhasil setelah mencobanya beberapa kali . Jika Anda macet, Anda bisa mengulangnya dengan cara klik tanda panah (tulisan REINICIAR) di pojok kiri bawah.

Posisi kodok setelah berpindah

Permainan Frog Leap bisa Anda nikmati secara online di sini.

Selamat mencoba, semoga Anda menikmatinya ^_^!

KEUNIKAN DIBALIK
TEKA-TEKI MATEMATIKA/PERMAINAN MATEMATIKA

Matematika merupakan disiplin ilmu yang mempunyai sifat khas kalau dibandingkan dengan disiplin ilmu yang lain. Karena itu kegiatan brlajar dan mengajar matematika seyogyanya juga tidak disamakan begitu saja dengan ilmu lain. Karena peserta didik yang belajar matematika itupun berbeda-beda pula kemampuannya,maka kegiatan belajar dan mengajar haruslah diatur sekaligus memperhatikan kemampuan yang belajar dan hakekat matematika

Hudojo, 1988: 1). Lebih lanjut Hudojo (1988: 3) mengatakan bahwa matematika berkenaan dengan ide-ide/konsep-konsep abstrak yang tersusun secara hirarkis dan penalarannya deduktif. Hal tersebut membawa akibat kepada bagaimana terjadinya proses belajar matematika.

 
                                                  Keajaiban dan keunikan Matematika
Saat siswa belajar suatu materi terutama materi yang berkaitan dengan hitung menghitung tentunya diperlukan suatu kondisi yang dapat merefresh ulang semangat belajarnya. Tentunya dengan permainan & teka-teki matematika kita dapat mengembalikan ataupun mengembalikan perhatian siswa untuk mengikuti dan mendengarkan apa yang kita sampaikan.
Dalam belajar matematika banyak sekali keajaiban dan keunikan yang dapat ditemukan, yang menakjubkan serta dapat memicu kreativitas dan kecerdasan. Apalagi bila apa yang mau Anda pelajari dianggap sangat menantang, sehingga teman-teman Anda menyangka bahwa Anda mempunyai kelebihan dan keunikan yang khas. Dalam tulisan ini banyak masalah yang dapat memberikan Anda kemampuan khusus. Misalnya Anda dapat Menebak bilangan ,melacak masa lalu seseorang,menebak hari kelahiran, menebak pikiran, menebak umur dll.
Belajar matematika dapat sangat menarik seperti halnya belajar membaca buku cerita misterius. Dalam belajar matematika terdapat banyak teka-teki, trik-trik, ide-ide yang sangat menarik, dan bisa menjadi tantangan yang mengasyikkan untuk dikerjakan. Bila Anda dalam belajar matematika dengan cara membaca sendiri, Anda akan menemui banyak ide-ide baru yang sangat menarik.
Karena banyaknya masalah-masalah yang aneh dan menakjubkan dalam teka-teki matematika sehingga para siswa senantiasa tertarik untuk mengetahui apa sebenarnya yang membuat aneh atau menakjubkan dalam perhitungan melalui teka-teki matematika tersebut. Dengan ketertarikan untuk mengetahui sesuatu yang aneh atau yang dianggap misterius dalam hal perhitungan melalui teka-teki matematika, para siswa akan selalu merasa senang dan ceria melakukan perhitungan yang pada akhirnya dapat mening katkan keterampilan berhitung bagi para pembaca, serta memungkinkan menemukan teka-teki yang bermanfaat.
Semuanya terjadi karena keunikan dari matematika itu sendiri. Anda juga dapat mengembangkan masalah tersebut lebih jauh lagi dengan gaya yang serupa atau sedikit variasi. Memang, tidak terbatas banyaknya trik matematis yang dapat Anda kembangkan sendiri, juga terdapat banyak cara yang menarik yang dapat Anda gunakan dari materi ini

Tebak Umur

Dalam kelas murid-murid bertanya kepada Pak Andi tentang usia keponakannya. Pak Andi menjawab "Saya mempunyai 3 orang keponakan, hasil kali usia mereka adalah 72 dan jumlah usia mereka 14, tetapi murid-murid masih meminta kepada Pak Andi untuk memberi info tambahan sehingga soal dapat dipecahkan.Pak Andi kemudian menyatakan bahwa keponakan tertua adalah pemain catur yang baik.
Berapa usia ketiga keponakan Pak Andi?

Untuk menjawab soal cerita di atas, pertama kita tinjau faktor-faktor dari 72. Faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.

Susunan tiga buah faktor dari 72 yang jumlahnya 14 antara lain:

(1) 2 6 6 dan

(2) 3 3 8.

Karena ada dua kemungkinan jelas kita perlu melihat petunjuk lain dari gurunya. Petunjuk lain tersebut adalah anak tertua pandai bermain catur. Petunjuk ini jelas mengatakan bahwa anak tertua hanya 1 orang. Jadi, susunan (1) tidak mungkin terjadi karena anak tertua ada 2 orang (masing-masing berumur 6 tahun).

Jawaban yang mungkin adalah :

usia ketiga keponakan pak Andi adalah 3 tahun, 3 tahun, dan 8 tahun.

Tokoh-Tokoh Matematika

Gottfried Liebniz (1646 – 1716)

Liebniz khawatir lamban untuk perkalian yg di kemukakan oughtred sulit di bedakan dengan huruf x

beliau menciptakan lambang (n)” untuk perkalian

contohnya 2(3+4) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14

liebniz juga mengemukakan lambang (.)

contohnya 3.5 = 15

Grisha Perelman

Grisha Perelman, adalah seorang matematikawan Rusia berdarah Yahudi yang membuat kontribusi terkenal kepada Geometri Riemannian dan topologi geometri. Khususnya, dia tampaknya telah membuktikan

geometrisasi konjektur Thurston. Bila demikian, ini juga menyelesaikan konjektur Poincaré yang terkenal, yang dikeluarkan pada 1904 dan dianggap sebagai masalah terbuka yang penting dan sulit dalam matematika.

Pada Agustus 2006, Perelman dianugrahkan Fields Medal,[3] yang dianggap luas sebagai penghargaan tertinggi yang dapat diterima bagi matematikawan. Namun dia menolak menerima penghargaan tersebut dan juga menolak hadir pada kongres tersebut.

Archimedes (287SM – 212SM)

archimedes merupakan salah satu matematikawan terbesar di sejarah

penemuan archimedes banyak sekali seperti

1. nilai  π = 3,14 atau 22/7
2. rumus volume bola
3. rumus volume kerucut
4. rumus volume tabung
5. prinsip matematis luas
6. sitem katrol
7. ulir penak
8. dll

archimedes juga membuat hukum archimedes

Archimedes adalah orang yang mendasarkan penemuannya dengan eksperiman. Sehingga  ia dijuluki Bapak IPA Eksperimental.

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss merupakan salah satu ilmuwan hebat dunia, ia juga diakui sebagai ahli matematika terbesar sepanjang masa.

Hal ini cukup beralasan, sebab ia memang jenius sejak kecil. Pada saat Gauss berusia tiga tahun, ia berhasil menemukan kesalahan yang dilakukan ayahnya waktu sang ayah melakukan kalkulasi di bidang keuangan. Gauss melakukan hal yang menakjubkan lagi saat ia berada di sekolah dasar. Pada waktu itu guru matematikanya meminta murid-murid menjumlahkan bilangan-bilangan dari 1 hingga 100. Ia melakukannya dengan harapan ia bisa beristirahat cukup lama sebelum melanjutkan pelajaran, namun ternyata Gauss berhasil menyelesaikan soal tersebut beberapa detik setelahnya. Gauss menyelesaikannya dengan cara yang unik: ia mengelompokkan bilangan dari 1 hingga 100 menjadi 1 dan 100, 2 dan 99, 3 dan 98, dan seterusnya hingga 50 dan 51. Jumlah setiap pasang bilangan adalah 101 dan ada 50 pasang bilangan, sehingga jumlah total bilangan adalah 50 x 101= 5050. Mantap.

Paul Wolfskehl
Paul Wolfskehl bukan orang yang ahli matematika, melainkan orang industri dari Jerman. Lalu apa hubungannya dengan matematika?

Cerita Paul Wolfskehl ini lebih mengherankan lagi: hidupnya diselamatkan oleh matematika. Entah karena masalah percintaan atau karena penyakit yang dideritanya, suatu hari ia berniat mengakhiri hidupnya. Paul bahkan sudah merencakan tanggal dan pukul berapa ia akan bunuh diri dan menyiapkan pistol untuk kemudian diarahkan ke kepalanya. Beberapa jam sebelum ingin menembak dirinya, ia mengunjungi perpustakaan pribadinya dan menemukan sebuah makalah tentang teorema yang sangat terkenal: Fermat's Last Theorem. Ia mulai membaca, dan tidak membutuhkan waktu lama untuk ia tenggelam dalam kesibukannya. Bukannya memikirkan mengenai bunuh diri, ia sibuk berpikir bagaimana cara memecahkan persoalan yang ada pada makalah tersebut. Perjuangannya memecahkan soal memang akhirnya gagal, namun tepat setelah itu dia sadar bahwa waktu yang ia tentukan untuk menembak dirinya sudah lewat. Ia pun terkagum dengan keindahan yang dia alami dalam memecahkan persoalan dan membatalkan niatnya untuk bunuh diri. Sebagai "balas jasa", ia menyelenggarakan hadiah 100.000 Marks bagi siapa yang dapat memecahkan permasalahan Fermat's Last Theorem. Hadiah ini kemudian dikenal dengan nama hadiah Wolfskehl.


George Dantzig
Jika dua kisah pertama belum membuat anda heran, bisa dipastikan anda akan takjub dengan cerita mengenai seorang ahli statistika dan riset operasional ini.

Waktu menempuh studi Doktoral, George Dantzig terlambat menghadiri suatu kuliah. Dua soal sudah dituliskan di papan tulis sewaktu ia memasuki ruangan. Ia pun menyalinnya dan mengerjakannya sebagai tugas kuliah. Beberapa saat kemudian ia sadar bahwa soal tersebut bukanlah soal yang mudah...namun karena merasa bahwa itu adalah tugas ia tetap mengerjakannya. Dua soal itupun akhirnya selesai, lalu George mengumpulkannya ke dosen pengampu dan meminta maaf atas lamanya waktu yang dia butuhkan untuk menyelesaikannya dengan beralasan bahwa soal tersebut "sedikit lebih sulit daripada biasanya". Kira-kira enam minggu sesudahnya, sang dosen datang ke rumah George sambil tergopoh-gopoh membawa tugas yang ia kumpulkan. Si empunya rumah sempat merasa tidak enak dan berpikir bahwa ia sudah melakukan kesalahan, namun ternyata...? Sang dosen memberitahunya bahwa apa yang ia pecahkan adalah dua soal statistika terkenal tinggi yang belum terpecahkan oleh siapapun. George menjadi orang pertama yang berhasil memecahkannya dan pekerjaannya dirangkum menjadi sebuah makalah untuk kemudian dipublikasikan oleh sang dosen. Tidak berhenti sampai di situ, tahun berikutnya saat George bingung menentukan topic disertasi, sang dosen berkata bahwa penyelesaian dua soal tersebut akan diterimanya sebagai disertasi... Kisah mengenai George Dantzig ini bahkan dipakai oleh seorang pendeta di masa itu sebagai bahan khotbah tentang kekuatan dari berpikir positif. Lebih lanjut lagi, sebuah film populer berjudul Good Will Hunting dibuat pada 1997 berdasarkan kisah George Dantzig.

LEONHARD EULER 1707-1783

Di abad ke-17 Swiss punya seorang matematikus dan ahli fisika yang teramat brilian dan ilmuwan terkemuka sepanjang masa. Orang itu Leonhard Euler. Hasil karyanya mempengaruhi penggunaan semua bidang fisika dan di banyak bidang rekayasa.
Hasil matematika dan ilmiah Euler betul-betul tak masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri dari lebih 70 jilid! Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika siap pakai, dan sumbangannya terhadap matematika fisika hampir tak ada batasnya untuk penggunaan.
Euler khusus ahli mendemonstrasikan bagaimana hukum-hukum umum mekanika, yang telah dirumuskan di abad sebelumnya oleh Isaac Newton, dapat digunakan dalam jenis situasi fisika tertentu yang terjadi berulang kali. Misalnya, dengan menggunakan hukum Newton dalam hal gerak cairan, Euler sanggup mengembangkan persamaan hydrodinamika. Juga, melalui analisa yang cermat tentang kemungkinan gerak dari barang yang kekar, dan dengan penggunaan prinsip-prinsip Newton. Dan Euler berkemampuan mengembangkan sejumlah pendapat yang sepenuhnya menentukan gerak dari barang kekar. Dalam praktek, tentu saja, obyek benda tidak selamanya mesti kekar. Karena itu, Euler juga membuat sumbangan penting tentang teori elastisitas yang menjabarkan bagaimana benda padat dapat berubah bentuk lewat penggunaan tenaga luar.
Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa matematika tentang permasalahan astronomi, khusus menyangkut soal “tiga-badan” yang berkaitan dengan masalah bagaimana matahari, bumi, dan bulan bergerak di bawah gaya berat mereka masing-masing yang sama. Masalah ini –suatu masalah yang jadi pemikiran untuk abad ke-21– belum sepenuhnya terpecahkan. Kebetulan, Euler satu-satunya ilmuwan terkemuka dari abad ke-18 yang (secara tepat, seperti belakangan terbukti) mendukung teori gelombang cahaya. (more…)  

SIR ISAAC NEWTON

Masa-masa Awal

Isaac Newton dilahirkan pada tanggal 4 Januari 1643 [KJ: 25 Desember 1642] di Woolsthorpe-by-Colsterworth, sebuah hamlet (desa) di county Lincolnshire. Pada saat kelahirannya, Inggris masih mengadopsi kalender Julian, sehingga hari kelahirannya dicatat sebagai 25 Desember 1642 pada hari Natal. Ayahnya yang juga bernama Isaac Newton meninggal tiga bulan sebelum kelahiran Newton. Newton dilahirkan secara prematur; dilaporkan pula ibunya, Hannah Ayscough, pernah berkata bahwa ia dapat muat ke dalam sebuah cangkir (≈ 1,1 liter). Ketika Newton berumur tiga tahun, ibunya menikah kembali dan meninggalkan Newton di bawah asuhan neneknya, Margery Ayscough. Newton muda tidak menyukai ayah tirinya dan menyimpan rasa benci terhadap ibunya karena menikahi pria tersebut, seperti yang tersingkap dalam pengakuan dosanya: “Threatening my father and mother Smith to burn them and the house over them.”

Newton pada tahun 1702

Isaac Newton (Bolton, Sarah K. Famous Men of Science. NY: Thomas Y. Crowell & Co., 1889)

Berdasarkan pernyataan E.T. Bell (1937, Simon and Schuster) dan H. Eves:

“

Newton memulai sekolah saat tinggal bersama neneknya di desa dan kemudian dikirimkan ke sekolah bahasa di daerah Grantham dimana dia akhirnya menjadi anak terpandai di sekolahnya. Saat bersekolah di Grantham dia tinggal di-kost milik apoteker lokal yang bernama William Clarke. Sebelum meneruskan kuliah di Universitas Cambridge pada usia 19, Newton sempat menjalin kasih dengan adik angkat William Clarke, Anne Storer. Saat Newton memfokuskan dirinya pada pelajaran, kisah cintanya dengan menjadi semakin tidak menentu dan akhirnya Storer menikahi orang lain. Banyak yang menegatakan bahwa dia, Newton, selalu mengenang kisah cintanya walaupun selanjutnya tidak pernah disebutkan Newton memiliki seorang kekasih dan bahkan pernah menikah.

”

Sejak usia 12 hingga 17 tahun, Newton mengenyam pendidikan di sekolah The King’s School yang terletak di Grantham (tanda tangannya masih terdapat di perpustakaan sekolah). Keluarganya mengeluarkan Newton dari sekolah dengan alasan agar dia menjadi petani saja, bagaimanapun Newton tidak menyukai pekerjaan barunya. Kepala sekolah King’s School kemudian meyakinkan ibunya untuk mengirim Newton kembali ke sekolah sehingga ia dapat menamatkan pendidikannya. Newton dapat menamatkan sekolah pada usia 18 tahun dengan nilai yang memuaskan.
Pada Juni 1661, Newton diterima di Trinity College Universitas Cambridge sebagai seorang sizar (mahasiswa yang belajar sambil bekerja). Pada saat itu, ajaran universitas didasarkan pada ajaran Aristoteles, namun Newton lebih memilih untuk membaca gagasan-gagasan filsuf modern yang lebih maju seperti Descartes dan astronom seperti Copernicus, Galileo, dan Kepler. Pada tahun 1665, ia menemukan teorema binomial umum dan mulai mengembangkan teori matematika yang pada akhirnya berkembang menjadi kalkulus. Segera setelah Newton mendapatkan gelarnya pada Agustus 1665, Universitas Cambridge ditutup oleh karena adanya Wabah Besar. Walaupun dalam studinya di Cambridge biasa-biasa saja, studi privat yang dilakukannya di rumahnya di Woolsthorpe selama dua tahun mendorongnya mengembangkan teori kalkulus, optika, dan hukum gravitasi. Pada tahun 1667, ia kembali ke Cambridge sebagai pengajar di Trinity.

Euklides

euklides adalah matematikawan dari alexandria

                                                                              
Euklides hidup pada abad ke 4 SM

                                                        dialah yg mengemukakan bahwa:

1. titik adalah 1 dimensi
2. garis adalah 1 dimensi yaitu garis itu sendir
3. persegi dan bangun datar lainnya adalah 2 dimensi yaitu panjang dan lebar
4. bangun ruang adalah 3 dimensi yaitu panjang lebar tinggi

selain itu beliau juga menggungkapkan bahwa tdk ada bangun geometri 4 dimensi

• riwayat hidupnya (sumber wikipedia) :

Euclid dari Alexandria, adalah seorang matematikawan Yunani dan sering disebut sebagai “Bapak Geometri.” Ia aktif dalam Helenistik Iskandariyah pada masa pemerintahan Ptolemeus I (323-283 SM). Elemen-Nya adalah buku yang paling berhasil dan salah satu karya paling berpengaruh dalam sejarah matematika, melayani sebagai buku teks utama untuk mengajar matematika (terutama geometri) dari waktu dari publikasi sampai akhir abad 19 atau awal abad ke-20. [1] [2] [3] Di dalamnya, prinsip-prinsip apa yang sekarang disebut Euclidean geometri yang dideduksi dari seperangkat aksioma. Euclid juga menulis karya-karya pada perspektif, kerucut, bola geometri, teori bilangan dan kekakuan.

“Euclid” adalah versi keinggeris-inggerisan nama Yunani Εὐκλείδης – Eukleídēs, yang berarti “Bagus Glory”.

Phytagoras

 

Pythagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.
Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.^[1]
Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa , hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.^[2]

Carl Friedrich Gauss

 

Carl Friedrich Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) (lahir di Braunschweig, 30 April 1777 – meninggal di Göttingen, 23 Februari 1855 pada umur 77 tahun) adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi; ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton.
Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+…+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu. [1]
Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus (termasuk limit) ialah salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.
Gauss meninggal dunia di Göttingen.

Rene Descartes (1596 – 1650)

Rene descartes merupakan matematikawan dan seorang filsuf

riwat hidup nya :

lahir di La Haye, Perancis, 31 Maret 1596 – meninggal di Stockholm, Swedia, 11 Februari 1650 pada umur 53 tahun), juga dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin, merupakan seorang filsuf dan matematikawan Perancis.

dalam matematika descartes  mengemukakan

• bilangan negatif
• sistem koordinat kartesius

selain itu dia juga yg pertama kali menggunakan huruf abjad untuk mengganti bilangan bilangan

Karyanya yang terpenting ialah

• Discours de la méthode (1637) dan 
• Meditationes de prima Philosophia (1641).

kata bijak nya : i think therefore am i (aku berfikir maka aku ada)

descartes kadang di panggil “bapak matematika modern”  dan “penemu filsuf moden”

Metode Belajar Matematika: Cara Menguasai Rumus Cepat Matematika

“Bagaimana cara belajar matematika yang benar?”

“Belajar matematika adalah belajar hidup. Matematika adalah jalan hidup.”

Trachtenberg mempertaruhkan jiwanya menentang Hitler. Trachtenberg, setelah menyelami prinsip-prinsip matematika, menyimpulkan bahwa prinsip kehidupan adalah keharmonisan. Peperangan yang terus berkobar, menyulut kebencian tidak sesuai dengan prinsip-prinsip matematika. Matematika adalah keindahan.

Atas penentangannya ini, Hitler menghadiahi Trachtenberg hukuman penjara. Bagi Trachtenberg, perjara bukan apa-apa. Di dalam penjara, dia justru memiliki kesempatan memikirkan matematika tanpa banyak gangguan. Karena sulit mendapatkan alat tulis-menulis, Trachtenberg mengembangkan pendekatan matematika yang berbasis mental-imajinasi.

Seribu tahun sebelum itu, AlKhawaritzmi mengembangkan disiplin matematika baru: aljabar. AlKharitzmi beruntung hidup dalam lingkungan agama Islam yang kuat. Ajaran Islam, secara inheren, menuntut keterampilan matematika tingkat tinggi. Misalnya, Islam menetapkan aturan pembagian waris yang detil. Pembagian waris sistem Islam melibatkan banyak variabel matematis. Variabel-variabel yang beragam ini menantang penganut Islam – termasuk AlKhawaritzmi – untuk mencari pemecahan yang elegan.

Pemecahan terhadap sistem persamaan yang melibatkan banyak variabel ini membawa ke arah disiplin baru matematika: aljabar. AlKhawaritzmi menulis buku khusus tentang aljabar yang sangat fenomenal. Buku yang berjudul Aljabar ini menjadi panutan bagi matematikawan seluruh dunia. Sehingga nama AlKhawaritzmi menjadi dikenal sebagai Aljabar AlKhawaritzmi (Algebra Algorithm).

Sistem kalender Islam yang berbasis pada komariah (bulan, lunar) memberikan tantangan tersendiri. Penetapan awal bulan menjadi krusial di dalam Islam. Berbeda dengan kalender syamsiah (matahari, solar). Dalam kalender syamsiah, kita tidak begitu sensitif apa berbedaan tanggal 1 Juni dengan 2 Juni. Tetapi pada sistem komariah, perbedaan 1 Ramadhan denga 2 Ramadhan berdampak besar.

Itulah sebabnya, astronomi Islam dapat maju lebih awal. Astronomi memicu lebih berkembangnya teori trigonometri. Aturan sinus, cosinus, dan kawan-kawan berkembang pesat di tangan para astronom Islam waktu itu.

Ajaran agama Islam adalah jalan hidup. Untuk bisa melaksanakan ajaran Islam diperlukan matematika. Matematika menjadi jalan hidup.

Sehebat itukah peran matematika?

Haruskah kita mengambil matematika sebagai jalan hidup?

Tidak selalu! Tidak semua orang perlu mengambil matematika sebagai jalan hidup. Tidak harus semua orang meniru AlKhawaritzmi dan Trachtenberg.

Beberapa orang belajar matematika hanya untuk kesenangan. Beberapa orang yang lain belajar karena kewajiban. Ada pula yang belajar matematika agar naik jabatan. Ada juga agar lulus UN, SPMB, UMPTN. Ada juga untuk menjadi juara.

Masing-masing tujuan, berimplikasi kepada cara belajar matematika yang berbeda. Misalnya bila Anda belajar matematika untuk kepentingan lulus UN, SPMB, UMPTN 2008 akan berbeda dengan belajar untuk memenangkan olimpiade matematika.

Matematika UN, SPMB, UMPTN 2008 hanya menerapkan soal pilihan ganda. Implikasinya Anda hanya dinilai dari jawaban akhir Anda. Proses Anda menemukan jawaban itu tidak penting. Jadi Anda harus memilih siasat yang cepat dan tepat.

Gunakan berbagai macam rumus cepat dalam matematika. Rumus cepat ampuh Anda gunakan untuk UN, SPMB, UMPTN. Tetapi rumus cepat matematika tidak akan berguna untuk olimpiade atau kuliah kalkulus kelak di perguruan tinggi. Anda harus sadar itu.

Contoh rumus cepat matematika yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN adalah rumus tentang deret aritmetika.

Contoh soal:

Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n^2 + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…

Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.

Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1) .

Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung menghitung U11 dengan cara menghitung selisih

S11 – S10 = U11

[3(11^2) + 11] – [3(10^2) + 10]

= 3.121 – 3.100 + 11 – 10

= 3.21 + 1

= 64

Cara ketiga, adalah rumus matematika paling cepat dari kedua rumus di atas. Tetapi sebelum menerapkan cara ketiga, kita harus memahami konsepnya terlebih dahulu dengan baik.

Are you ready?

Bentuk baku dari n suku pertama deret aritmetika adalah

Sn = (b/2)n^2 + k.n

Un = b(n-1) + a

a = S1 = U1

Anda harus pahami konsep di atas dengan baik. Cobalah untuk beberapa soal yang berbeda-beda. Tanpa pemahaman konsep yang baik, rumus cepat ini akan berubah menjadi rumus berat.

Dengan hanya melihat soal (tanpa menghitung di kertas) bahwa

Sn = 3n^2 + n

Kita peroleh

b = 6 (dari 3 x 2)

a = 4 (dari S1 = 3 + 1)

U11 = 6.10 + 4 = 64 (Selesai)

Semua perhitungan di atas dapat kita lakukan tanpa menggunakan alat tulis. Semua kita lakukan hanya dalam imajinasi kita. Ulangi beberapa kali. Anda pasti akan menguasainya dengan baik.

Trik untuk menguasai rumus cepat matematika adalah kuasai pula rumus standarnya – rumus biasanya. Dengan menguasai dua cara ini Anda akan semakin terampil menggunakan rumus cepat matematika.

Bagaimana pendapat Anda?

Salam hangat….Selamat berjuang Kawan!

Barisan Dan Deret

1. BARISAN GEOMETRI
   
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n < U_n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r < 0
      
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst. 
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀
.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Geometri

Permukaan Calabi–Yau

Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Geometri awal

Model empat padatan Platonik

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.

Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.

Sudut (geometri)

Ruang dan besaran rotasi.

Untuk kegunaan lain dari sudut, lihat sudut (disambiguasi).

Sudut dalam geometri adalah besaran rotasi suatu ruas garis dari satu titik pangkalnya ke posisi yang lain. Selain itu, dalam bangun dua dimensi yang beraturan, sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua buah ruas garis lurus yang saling berpotongan.Besar sudut pada lingkaran 360°.Besar sudut pada segitiga siku-siku 180°.Besar sudut pada persegi/segi empat 360°.Untuk mengukur sudut dapat digunakan busur derajat. Tiap sudut segitiga sama sisi masing masing 60°, karena semua sudutnya sama besar maka 180° :3 = 60°. Sedangkan tiap sudut persegi 90° karena semua sudutnya juga sama besar maka 360° :4 = 90°